Terence Tao birkaç hafta önce matematiğin “proof scarcity”den “proof abundance”a geçmekte olduğundan söz etti.
Yani ispat kıtlığından, ispat bolluğuna.
Küçüklüğümden beri babamdan duyduğum, “Hayatta her şey matematiktir” cümlesi hayatımda daha derin bir anlam kazanmaya başlamışken, Tao’nun bu açıklamasıyla aklıma, hayatta her şeyin matematik olduğunu pek anlayamamış; o yüzden de sınavlarda “gidiş yoluma” bir puan bile vermeyen matematik öğretmenim geldi.
Tao’nun bahsettiği elbette bambaşka bir mesele.
Matematik insanların hâlâ sabırla (ve pek şikayet etmeden) cevapsız bırakabildiği nâdir alanlardan. Bir matematikçi hayatının önemli bir bölümünü tek bir problemi çözmeye adayıp başarısız olabilir. Bu kariyerinin boşa geçtiği anlamına gelmez. Problem ondan önce de oradadır, ondan sonra da orada kalabilir. Böyle böyle, Riemann Hipotezi ya da Navier-Stokes gibi onlarca yıldır çözülmeyi bekleyen açık problemler matematiğin dışına taşıp bir tür kültürel şöhret kazanıyor. Hatta Navier–Stokes problemini çözen kişiye Clay Mathematics Institute bir milyon dolar vaat ediyor.
Bu sistemin temelinde çok basit bir kıtlık var: İspat üretmek kolay değil.
Ama işte, artık AI var.
OpenAI, ağustos ayında yapay zekânın matematik ve teorik bilgisayar biliminde uzun süredir “açık duran” on ayrı problemde yeni sonuçlar ürettiğini; bazılarını çözdüğünü, bazılarında önemli ilerleme sağladığını açıkladı. Tao’nun son dönemde üzerinde durduğu mesele ise AI’ın yeni matematiksel sonuçlar üretip üretemeyeceğinden biraz daha ilginç. Böyle devam ederse matematiğin sorunu yeterince ispat bulamamak değil, üretilen ispatları yeterince hızlı doğrulayamamak, açıklayamamak ve nihayetinde anlayamamak olabilir. Tao buna “proof indigestion” diyor: ispat hazımsızlığı.
Matematiğin bir gün ispat fazlalığından hazımsızlık çekebileceği herhalde pek kimsenin aklına gelmezdi.
Ama Tao’nun söylediği yalnızca miktarla ilgili değil. Burada daha enteresab bir ayrım var: bir ispatın doğru olduğunu bilmekle, o ispatı gerçekten anlamak aynı şey değil. Örneğin AI yüz sayfalık kusursuz bir ispat üretebilir ve başka bir sistem bunun biçimsel olarak doğrulayabilir. Ama matematikçiler henüz ispatın içindeki yeni fikri ortaya çıkaramıyor, onu başka problemlerle ilişkilendiremiyor veya neden önemli olduğunu açıklayamıyorsa, matematiksel bilgiye gerçekten ne eklenmiş oluyor?
Tao’nun anlatımındaki en ilginç ayrıntılardan biri şu: Matematikçilerin yazdığı zor ispatlarda yazarın nerede zorlandığı genellikle belli olur. Bir yerde açıklama uzar, başka bir yerde kullanılan semboller değişir, kritik bir adım özellikle dikkatli anlatılır. Okur da tam orada yavaşlaması gerektiğini anlar. Tao buna “natural friction” diyor: düşünmenin metinde bıraktığı küçük pürüzler. Yapay zekâ işte bu pürüzleri silebiliyor. Kolay ve zor adımları aynı rahatlıkta anlatan kusursuz bir metin ortaya çıkabiliyor. Daha temiz, daha akıcı; ama düşüncenin nerede zorlandığını anlamak da güçleşebiliyor. Satır araları silikleşiyor.
Ben bu sabah bunları yazarken mesele birden teorik olmaktan çıktı.
NYU’dan matematikçi Tristan Buckmaster ile Anthropic’ten Levent Alpöge, Navier–Stokes problemine de uzanan bir araştırma hattında elde ettikleri yeni sonuçları yayımladı. Aynı gün OpenAI, kendi iç modelinin doğrudan Navier–Stokes Millennium problemini çözdüğünü öne sürdüğü bir ispat yayımladı.
Yani matematik açısından olağanüstü bir gündü. (Daha) sıradan insanlar açısından ise çok kısa sürede biraz daha tanıdık bir şeye dönüştü.
Buckmaster, bu alanda ilerleme kaydettiklerine dair bilginin (çalışmalarını yayımlamadan önce) OpenAI’a ulaştığını, ardından OpenAI’ın, aynı problem üzerinde yoğun biçimde çalışmaya başladığını söylüyor. İkili, çalışmaları sırasında hem Claude’u hem de Codex’i kullanmış. Buckmaster, bu özel Codex oturumlarının modele herhangi bir şekilde katkıda bulunmuş olup olmadığını sorguluyor.
OpenAI ise bu çalışmayı ancak açıklandıktan sonra gördüğünü; problemi çözmek için kullanıcı verilerinin kullanılmadığını söylüyor. Bununla birlikte bir ihtimali tamamen dışlamıyor: ikilinin ürün kullanımından elde edilen kimliksizleştirilmiş veriler, modellerin genel gelişimine katkıda bulunmuş olabilir. Şirket ayrıca kendi ispatının yaklaşım ve sonuç bakımından Buckmaster–Alpöge çalışmasından önemli ölçüde farklı olduğunu savunuyor.
Levent Alpöge’ye göre ise asıl kırılma noktası başka yerde. Kendisinin makaleden çıkarılması karşılığında, Millennium Prize’a yönelik bir tekliften söz edildiğini duyduğunu anlatıyor. Halbuki kendi tarafında süreç, bir “Anthropic–OpenAI hesaplaşması”ndan çok “köşede rastgele şeyler deneyerek” ilerlediği sıradan bir araştırma süreciymiş. Son cümlesi düşüncelerini özetliyor: It’s a shame.
Ben matematiğin teknik kısmında epey erken kayboldum. Ama tartışmanın geri kalanını anlamak için matematikçi olmaya gerek yok. Çünkü soru bir anda “İspat var mı?” olmaktan çıktı. İspatı kim buldu? Hangi bilgiye dayanarak buldu? Bir model, insanların daha önce üzerinde çalıştığı fikirlerden ne ölçüde yararlandı? Bir çözümü tamamlamakla, o çözüme giden yolu ilk kez görmek aynı şey mi? Bir fikrin nerede başlayıp nerede başka birinin katkısına dönüştüğünü nasıl ayırt edeceğiz?
Görünüşe göre proof abundance dünyasında bolluk soruları ortadan kaldırmıyor, yalnızca soruların yerini değiştiriyor. Belki bunun bize tanıdık gelmesi gerekiyor. Çünkü matematik dünyası için yeni olan bu bolluğun daha sıradan bir versiyonunda biz bir süredir yaşıyoruz.
AI çağında artık bir şeyi bilmemek eskisi kadar kolay değil. Bir filmin sonunu anlamadıysak açıklaması var. “Neden beni aramıyor?” diye merak ediyorsak internette milyonlarca attachment theory videosu var. Bir yere gitmeden önce orası hakkında ne düşünmemiz gerektiğini söyleyen yüzlerce yorum hazır.
Sanki artık bir şeyleri bilmemek için bazen özellikle çaba sarf etmek gerekiyor. Bilmemek artık eskisi kadar kendiliğinden içinde bulunduğumuz bir durum değil. Ama AI’la değişen şey yalnızca erişebildiğimiz bilginin miktarı değil. Birkaç sene öncesine kadar (Google çağında) cevapla aramızda hâlâ bir mesafe vardı. Arıyor, birkaç kaynak açıyor, karşılaştırıyor, bazen yanlış yere sapıyor ve sonunda hangi bilgiyi kullanacağımıza kendimiz karar veriyorduk. Bir çeşit gidiş yolu vardı.
AI bu mesafeyi büyük ölçüde ortadan kaldırıyor. Çoğu zaman kaynakları bizim için okuyor, karşılaştırıyor, ayıklıyor ve cevabı doğrudan önümüze koyuyor. Bilgiye ulaşmakla bir sonuca varmak arasındaki aşamalar giderek görünmez hale geliyor.
Bu yüzden asıl mesele yalnızca yapay zekânın doğru cevap verip vermemesi değil. Elbette doğru cevap vermesi gerekiyor; yanlış bilginin epistemolojik faydalarını savunacak değilim. Burada ilginç olan doğru cevaba bu kadar zahmetsizce sahip olmanın düşünme biçimimizi nasıl değiştirdiği. Çünkü bir cevaba sahip olmakla bir şeyi anlamak hâlâ aynı şey değil. Bir kitabın ne anlattığını belki üç dakikada öğrenebiliriz ama bu o kitabı okumuş olmakla aynı şey değil.
Gilbert Ryle’dan beri felsefede, bir şeyi bilmekle onu nasıl yapacağını bilmek arasındaki fark tartışılıyor (knowing-that / knowing-how). Belki şimdi başka bir ayrımla daha fazla meşgul olacağız: Bir cevabı anında almakla, ona düşünerek ulaşmak arasındaki fark.
Bir şeyi bilmemek, onun etrafında dolaşmak, yanlış tahminde bulunmak, bir başkasına sormak, fikrini değiştirmek; bütün bunların ne kadarının “cevaba ulaşmak” için katlandığımız gereksiz aşamalar, ne kadarının düşünmenin kendisi olduğunu henüz bilmiyoruz.
Tao’nun matematik için söylediği şey bu yüzden bana matematikten daha büyük geliyor. İspat üretmek kolaylaşsa da matematiğin değeri ortadan kalkmıyor. Ama değerin nerede bulunduğu daha görünür hale geliyor: Hangi problemin önemli olduğuna karar vermek, ispatın içindeki fikri görmek, onu açıklayabilmek, önceki bilgilerle bağını kurmak, kimin ne yaptığını doğru biçimde teslim etmek.
Kısacası, sonuçlar çoğaldıkça “gidiş yolu”nun neden önemli olduğu daha görünür hale geliyor.
Hayatın geri kalanında da benzer bir şey olabilir. Cevaplar çoğaldıkça, onları değerlendirmek, anlamlandırmak ve hangisinin önemli olduğuna karar vermek daha merkezi bir meseleye dönüşüyor.